6 / 11
О.С. Нарайкин, Ф.Д. Сорокин, С.А. Козубняк, Д.С. Вахлярский
46
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 5
cos2φ при
= 0; расщепление частоты Δ
f
2
= 5,20 и 0,520 Гц при
= 0,
= 2∙10
–3
и
2∙10
–4
; масштабный коэффициент
K
= 0,374; угловая скорость вращения оболоч-
ки
= 20 рад/с; максимальный номер гармоники
n =
5…10.
Алгоритм вычисления расщепления частоты
2
f
заключался в нахождении
всего спектра собственных значений матрицы [
A
] из системы (11) с последую-
щим выделением из него двух собственных частот, близких к
f
2
. При значении
параметра
= 2∙10
–3
указанные частоты составляют 7954,437 Гц и 7949,236 Гц,
что и дает для Δ
f
2
приведенное ранее значение 5,20 Гц.
Контроль расчета собственных ча-
стот осуществлялся на основе МКЭ. В
комплексе ANSYS была создана модель
цилиндрического резонатора (рис. 2), со-
стоящая из 10
240 оболочечных элемен-
тов (128 элементов по окружному
направлению и 80 по оси оболочки).
Модель цилиндрической оболочки за-
креплялась в соответствии с граничными
условиями (3), т. е. были запрещены только
радиальные и окружные перемещения.
Конечно-элементный расчет для волново-
го числа
k
= 2 дает две формы колебаний
(см. рис. 2), развернутые относительно
друг друга на угол 45
, которым соответ-
ствуют две близкие собственные частоты
7949,578 и 7954,772 Гц, что соответствует
расщеплению 5,19 Гц. Весьма любопытно,
что конечно-элементный расчет привел к
другим значениям искомых собственных
частот, чем система (11), но к тому же зна-
чению расщепления, которое приведено
ранее. Расхождение вычисленных собственных частот легко объяснить различием
в гипотезах теории оболочек, принятых в [8] и разработчиками комплекса ANSYS.
Но эффект совпадения значений расщепления, найденных из системы (11) и МКЭ,
при наличии заметных отличий в самих частотах требует дополнительного рас-
смотрения и выходит за рамки настоящей статьи.
Масштабный коэффициент был найден по расщеплению частоты резонатора,
вызванному вращением. Для оболочки без дефекта при заданной угловой скорости
собственная частота расщепляется на две близкие частоты, разность между ко-
торыми составляет
*
2
4, 765
f
Гц. Масштабный коэффициент равен
*
2
2
0,374.
4
f
K
Рис. 2.
Конечно-элементная модель ре-
зонатора и одна из форм колебаний,
соответствующая гармонике c волновым
числом
k
= 2