3 / 11
Численное моделирование прецессии упругой волны в цилиндрическом резонаторе…
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 5
43
В векторе
y
содержится 6
n
+ 3 неизвестных функций, зависящих от времени.
Как показано в работе [8], тригонометрические функции
cos
s
l
и
sin
s
l
в
(1) обеспечивают выполнение граничных условий Навье на торцах резонатора:
v
= 0,
w
= 0,
T
1
= 0,
M
1
= 0,
(3)
где
T
1
— осевое мембранное усилие;
M
1
— интенсивность осевого изгибающего
момента.
Для вывода уравнений движения резонатора воспользуемся уравнениями
Лагранжа 2-го рода. Потенциальная энергия деформации цилиндрической обо-
лочки равна [8]
æ æ
æ æ æ
2
2
12
2
1 2
1 2
2
0 0
2
3
2
2
1 2
1 2
12
2
0 0
(
) 2(1 )
2(1 )
4
(
) 2(1 )
,
24(1 )
l
l
Eh
U
dsRd
Eh
dsRd
(4)
где
E
,
— модуль упругости и коэффициент Пуассона материала резонатора;
h
— толщина;
1
,
2
,
12
— осевая, окружная и сдвиговая деформации;
æ æ æ
1 2 12
, ,
— параметры приращения кривизны.
Для деформаций и параметров приращения кривизны справедливы обыч-
ные формулы из [8]:
æ
æ
æ
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
12
12
;
;
1
1
;
;
1
;
.
u
w
s
s
v
v w
w
R
R
v u
v w
s R
R s s
(5)
Подставляя суммы (1) в формулы (5) и далее в выражение (4), можно пред-
ставить потенциальную энергию деформации в виде квадратичной формы
т
1 [ ] ,
2
U
y K y
(6)
где [
K
] — матрица жесткости.
При этом определенные интегралы по координатам
s
и φ вычислялись ана-
литически с помощью стандартных средств математического пакета Wolfram
Mathematica [9]. Символьные вычисления позволяют при необходимости пред-
ставить матрицу [
K
] полностью в аналитическом виде, хотя такое представле-
ние является весьма громоздким.
Кинетическая энергия резонатора была получена на основе представления
полного движения оболочки как наложение относительного движения на пере-
носное вращение с постоянной угловой скоростью
: