Численное моделирование прецессии упругой волны в цилиндрическом резонаторе волнового твердотельного гироскопа с неоднородным распределением плотности

5 / 11

Численное моделирование прецессии упругой волны в цилиндрическом резонаторе…
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 5 45
С учeтом того, что все коэффициенты в системе являются постоянными,
был применeн полуаналитический метод матричной экспоненты [12]. C помо-
щью введения вектора обобщенных скоростей v система (10) была представлена
в каноническом виде
 
 
   
        
 
   
 
 
  
 
 
 
1 1
, ,
.
d
dt
y Y A Y Y
v
0 E
A
M K M C
(11)
Согласно теории дифференциальных уравнений, решение системы (11)
можно представить через матричную экспоненту [12]:
     
 0 exp , t t Y A Y (12)
где Y0 — вектор начальных условий.
Под матричной экспонентой в (12) подразумевается матричный степенной
ряд, аналогичный степенному ряду для обычной функции — экспоненты. Ме-
тод решения, основанный на использовании аналитического выражения (12), не
приводит к численным проблемам, так как вычисление матричной экспоненты
в пакете Wolfram Mathematica (функция MatrixExp) может проводиться практи-
чески с неограниченным количеством десятичных знаков (500 знаков и более).
Для определения постоянных интегрирования было сделано предположе-
ние о том, что в начальный момент времени в оболочке реализована стоячая
волна
   
   
   



*
2 2
*
2 2
*
2 2
0 ,
0 ,
0 ,
c
c
c
u u
v v
w w
(13)
где * * *
2 2 2, , , u v w — амплитудные значения перемещений для формы колебаний
оболочки без дефекта и при отсутствии вращения ( = 0,  = 0).
Остальные компоненты вектора Y0 = Y(0), кроме заданных соотношениями
(13), принимались равными нулю. Таким образом, оказалось, что численное инте-
грирование в рассматриваемой задаче можно полностью заменить операциями с
матрицами и векторами, которые уже реализованы в пакете WolframMathematica.
Численный пример и анализ результатов. Далее приведены результаты
применения предлагаемой методики для исследования прецессии упругой вол-
ны в цилиндрическом резонаторе с неоднородным распределением плотности.
Параметры резонатора следующие: модуль упругости Е = 73600 МПа; плотность
ρ = 2210 кг/м3; коэффициент Пуассона  = 0,17; радиус срединной поверхности
R = 40 мм; длина l = 80 мм; толщина h = 1 мм; малый параметр возмущения
плотности  = 2·10–3; 2·10–4; 2·10 –5; собственная частота f2 = 7951,8 Гц для формы