Подставляя выражения (36) в равенства (10)–(12) из работы [1], нахо-
дим скорости деформаций:
ξ
ρ
=
−
v
0
R
−
1
cos
ϕ
;
ξ
ϕ
=
ξ
θ
=
v
0
2(
R
−
1)
cos
ϕ,
(37)
после чего по соотношению (8) [1] находим интенсивность скоростей
деформации:
ξ
i
=
v
0
R
−
1
cos
ϕ.
(38)
Полагая, что накопленная деформация
е
i
в явном виде зависит
только от координаты
ρ
, из известного выражения для определения
накопленных деформаций по А.А. Ильюшину [2, с. 175] получаем
уравнение
ξ
i
=
v
ρ
∂e
i
∂ρ
,
(39)
откуда после подстановки выражений (36) и (38) с учетом начального
условия
е
i
= 0
при
ρ
=
ρ
0
находим
e
i
= ln
ρ
0
−
1
ρ
−
1
.
(40)
Проинтегрировав выражение
dρ
=
v
ρ
dt
, учитывая первую формулу
из (36) и начальное условие
ρ
=
ρ
0
при
s
= 0
, можно найти зависи-
мость между начальными и текущими координатами материальной
точки:
ρ
= 1 + (
ρ
0
−
1)
e
−
s
R
−
1
cos
ϕ
,
(41)
где
е
— основание натурального логарифма.
В области
2
, где сосредоточены пластические деформации, можно
выделить две зоны с различным деформированным состоянием (см.
рис. 1, справа): зону
2а
, в которую постоянно вовлекаются свежие ча-
стицы металла, каждая из которых проходит через нижнюю границу
радиуса
R
, и зону
2б
, в которой сосредоточены частицы, находивши-
еся в очаге пластической деформации в момент начала вдавливания.
Уравнение границы между этими двумя зонами можно найти с помо-
щью выражения (41), подставив в него
ρ
0
=
R
:
ρ
1
= 1 + (
R
−
1)
e
−
s
R
−
1
cos
ϕ
.
(42)
На оси симметрии, т.е. при
ϕ
= 0
, положение границы определя-
ется радиусом
r
e
= 1 + (
R
−
1)
e
−
s
R
−
1
.
(43)
52 ISSN 0236-3941. ВестникМГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 3
