Учитывая уравнения (8) и (9), получаем условие локального рав-
новесия
v
i
=
q
i
h
4
6
EJ
+
2
3
(
v
i
−
1
+
v
i
+1
)
−
1
6
(
v
i
−
2
+
v
i
+2
)
.
(10)
Это и есть условие равновесия
i
-го узла под действием произволь-
ной нагрузки, описываемой функцией
q
(
z
)
.
Как отмечалось ранее, равновесие всего участка трубопровода со-
стоит из равновесий в каждой локальной области. Следовательно,
условие (10) должно быть удовлетворено для каждого узла при дей-
ствующей на него системе сил и нагрузок. Поэтому решение зада-
чи о равновесном положении всего участка сводится к определению
перемещений всех узлов
v
i
(
i
= 1
,
2
,
3
, . . .
), участвующих в системе
уравнений типа (10). Решение целесообразно строить итерационным
методом. При этом выполняют численное моделирование взаимодей-
ствия трубопровода с окружающим грунтом с учетом всех явлений и
факторов.
Для решения задачи разработаны алгоритм и расчетная программа.
Основные этапы алгоритма.
1. Формируются массивы
V
(
i
)
,
Z
(
j
)
,
V
(
j
)
соответственно для опи-
сания поперечных (вертикальных) координат узлов конечно-элемент-
ной сетки в расчетном участке трубопровода, координат измеренных
точек по оси трубопровода, результатов измерений высотных отметок.
Длина конечных элементов
D
z
= 1
м.
2. Вводятся исходные данные (обозначения максимально прибли-
жены к алгоритмическому языку):
Z
0
,
Z
C
— осевые координаты начала
и конца рассматриваемого участка трубопровода;
D
н
,
A
н
,
E
— наруж-
ный диаметр, толщина стенки, модуль упругости металла трубы;
N
z
,
D
V k
— число измеренных (контрольных) точек на данном участке, по-
грешность измерения высотных отметок;
Z
K
(
j
)
,
V
K
(
j
)
— результаты
замеров на трассе (координаты и глубина; число строк соответствует
значению
N
z
).
3. Организуются циклы, реализующие итерации и последователь-
ные приближения по формуле (10) с изменяющимися индексами. Про-
цесс приближения к точному решению контролируется по изменению
суммы вертикальных смещений
V
(
i
)
узлов конечно-элементной сетки.
4. Выводятся результаты расчета для каждого
i
-го узла (в виде
таблицы):
Z
— координаты точки трубы (узла конечно-элементной
сетки);
V
(
i
)
— фактическая глубина трубопровода с шагом 1 м;
σ
—
напряжения изгиба;
R
o
— радиус изгиба трубы в данной точке.
Основные особенности алгоритма и программы.
1. Вдоль всего участка трубопровода обеспечивается минимум по-
тенциальной энергии, что соответствует равновесию в пределах ка-
ждого элемента и в целом трубопровода.
20 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 4
