методов магнитной локации появилась возможность более планомерно
и с большей точностью контролировать изменения планово-высотного
положения подземных трубопроводов и на суше. Таким образом по-
высился интерес к контролю НДС трубопровода на основе измерения
координат с некоторым шагом.
Предлагается метод, основанный не на геометрических постро-
ениях, а на физических законах. Метод использует основной закон
термодинамики, согласно которому механическая система находится
в состоянии устойчивого равновесия, когда ее потенциальная энергия
минимальна из всех возможных вариантов. В качестве системы пред-
лагается рассматривать трубу, разбитую на конечные элементы [4].
В качестве конечных элементов выбираются кольца длиной
h
. В цен-
трах конечных элементов располагаются узлы, обозначенные индек-
сами
i, i
+ 1
, i
+ 2
, . . .
и т.д. (рис. 2).
При решении используем принцип, суть которого заключается в
следующем. Равновесное положение участка трубопровода рассматри-
вается как совокупность локальных равновесий конечных элементов,
т.е. равновесие всей системы достигается тогда, когда каждый конеч-
ный элемент находится в равновесии со своими ближайшими сосед-
ними конечными элементами.
В пределах каждого конечного элемента, размер которого невелик,
распределения величин можно упростить, приближенно приняв их по-
стоянными. Погрешность решения из-за такого допущения снижается
по мере уменьшения размеров конечных элементов. Численными экс-
периментами установлено, что при расчете магистральных трубопро-
водов оптимальная длина конечных элементов равна 1 м.
Рассмотрим конечный элемент в виде бруса. Энергия упругой де-
формации бруса при изгибе определяется формулой
U
=
1
2
h
Z
0
M
2
х
EJ
х
dz.
(2)
Изгибающий момент
М
х
и напряжения взаимосвязаны формулами
M
х
(
z
) =
EJ
х
d
2
v
(
z
)
dz
2
;
Q
y
(
z
) =
d
dz
EJ
X
d
2
v
(
z
)
dz
2
;
σ
(
z
) =
M
J
х
y
;
τ
(
z
) =
Q
y
F
,
(3)
где
v
— смещение по вертикали;
z
— координата по оси трубы;
M
х
—
изгибающий момент;
E
— модуль упругости металла трубы;
J
х
— мо-
мент поперечного сечения трубы;
σ
— линейное напряжение в стенке
трубы от изгиба;
τ
— касательное напряжение в стенке трубы.
18 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 4
