Рис. 2.
Конечно-элементное
представление участка трубо-
провода
Из формул (2) и (3) получим
U
=
1
2
h
Z
0
EJ
х
d
2
v
dz
2
2
dz.
(4)
Заменяя вторую производную приближенным конечно-разностным
выражением, получаем следующие формулы для упругой энергии эле-
ментов с номерами
i
−
1
, i, i
+ 1
:
U
i
−
1
=
1
2
EJ
x
h
v
i
−
2
v
i
−
1
+
v
i
−
2
h
2
2
=
EJ
x
2
h
3
(
v
i
−
2
v
i
−
1
+
v
i
−
2
)
2
;
U
i
=
EJ
x
2
h
3
(
v
i
+1
−
2
v
i
+
v
i
−
1
)
2
;
U
i
+1
=
EJ
x
2
h
3
(
v
i
+2
−
2
v
i
+1
+
v
i
)
2
.
(5)
Полная упругая энергия этих трех элементов составляет
U
п
=
U
i
−
1
+
U
i
+
U
i
+1
.
(6)
Условию равновесия в локальной области соответствует равенство
нулю вариации функции Лагранжа:
L
=
U
п
−
A
i
;
δL
=
δ
(
U
п
−
A
i
) = 0;
δU
п
=
δA
i
.
(7)
Здесь
А
i
— работа внешних сил, приложенных к
i
-му узлу;
δU
п
=
U
п
δV
i
и
δA
i
=
hq
i
δV
i
(8)
— вариации упругой энергии
i
-го элемента и работы внешних сил;
q
i
—
интенсивность нагрузки на
i
-й элемент, включая массу трубопровода,
массу транспортируемого продукта, а также массу и реакцию грунта,
описываемую функцией
q
(
z
)
(рис. 2).
Величина
q
(
z
)
с учетом реакции грунта при смещении трубопро-
вода может быть определена по рекомендациям, приведенным в спра-
вочном пособии [5].
Из выражений (5), (6) и (8) следует, что
δU
п
=
EJ
x
h
3
(
v
i
−
2
−
4
v
i
−
1
+ 6
v
i
−
4
v
i
+1
+
v
i
+2
)
δv
i
.
(9)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 4 19
