Но при этом всегда получаются принципиально бесконечные системы
линейных алгебраических уравнений и необходимо обоснование воз-
можности редукции конкретных систем [5], что для рассматриваемой
задачи представляется проблематичным.
В настоящей работе опробована модификация метода Бубнова–
Галеркина, позволившая ограничиться рассмотрением только систем
линейных алгебраических уравнений, применительно к процессам
с ограниченной протяженностью во времени
t
∈
[0;
t
max
=
τ
]
. В
основном варианте анализа зависимости
W
=
{
W
i
}
,
T
н
=
{
T
н
i
}
,
Q
0
=
{
Q
0
i
}
,
Q
x
=
{
Q
xi
}
cчитаются кусочно-линейными по норма-
ли к стенке (по
y
), т.е. линейными по толщине любого слоя. При
необходимости учета более сложной зависимости функций от попе-
речной координаты для каких-либо из физически однородных слоев
возможно разбиение каждого из них, например, на
j
подслоев с за-
данием соответствующих подсовокупностей из
j
линейных функций.
Для характеристики зависимостей температуры
T
н
от продольной ко-
ординаты
x
, тепловых потоков
Q
0
и
Q
x
от времени
t
,
{
α
g
,
T
g
,
λ
i
,
с
i
,
W
i
,
Q
i
,
P
i
}
, а также искомого решения от
х
и
t
, предусмотрено
использование полиномных по
х
и тригонометрических по времени
t
аппроксимаций. Отметим, что применение тригонометрических ря-
дов по времени (при достаточно большом числе слагаемых с заранее
неизвестными коэффициентами) в составе каждой из базисных функ-
ций обеспечивает принципиально точное решение. Число слагаемых в
разложениях для искомых решений ограничено лишь возможностями
вычислительных средств, которые позволяют использовать и большое
число необходимых уравнений.
Решение
T
i
,
i
= 1
. . . I
строится в виде суммы трех групп функций:
T
i
=
F
i
+
v
=1
,
2
N,M
n,m
G
vnm
C
vnm
+
p
H
ip
E
p
;
i
= 1
. . . I, N
+
M
⇐
S,
(7)
где
H
p
;
p
∈ {
1
t,
0
, X
}
— функции, последовательно (при
t
= 0
,
x
=
−
X/
2
;
x
=
X/
2
) удовлетворяющие заданным условиям на гра-
ницах пространственно-временной области решения;
E
p
— функции,
единичные на соответствующих границах и быстро убывающие до
нуля в их окрестностях, например
Е
p
= exp(
−
C
p
p
)
,
C
p
1
;
F
i
—
функции, удовлетворяющие условиям (1) и (6) и однородным услови-
ям при
t
= 0
,
x
=
−
X/
2
;
x
=
X/
2
G
vnm
— функции, удовлетворя-
ющие всем однородным условиям, сответствующим (1), (2), (5), (6).
Авторами настоящей работы использована возможность построения
функции
F
i
в форме разложений по продольной координате и времени
с кусочно-линейными коэффициентами, а именно
F
i
=
А
i
+
В
i
·
y
i
, i
= 1
, . . . , I
;
A
1
=
T
1
+
λ
1
В
1
/α
1
,
(8)
30 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 4
