при условиях третьего рода
α
g
(
T
g
−
T
) = (
−
1)
g
λ∂t/∂y
;
y
=
y
max
=
Y, g
= 2;
y
=
y
min
= 0
, g
= 1
,
(1)
на границах с нормальными координатами, а также при задании те-
пловых потоков
q
или температур
T
при следующих значениях про-
дольных координат:
Q
=
Q
0
, x
=
x
min
=
−
X/
2;
Q
=
Q
x
,
x
=
x
max
=
X/
2;
Q
∈ {
q, T
}
.
(2)
В условиях (1)
α
g
— коэффициенты теплоотдачи;
Т
g
— температура
среды. В процессе решения учитываем зависимости режимных и те-
плофизических характеристик от времени и координат.
При использовании программы для ЭВМ, реализующей числен-
ное решение задачи конечно-разностным методом, представляет ин-
терес разработка модификации расчетного метода, не связанного с
пошаговой (как по времени, так и по координатам) процедурой и, по-
возможности, близкого к аналитическому. Такое решение, в частности,
полезно для тестирования численных расчетов.
Основу математической постановки задачи составляет дифферен-
циальное уравнение с кусочно-непрерывными функциями теплопро-
водности
λ
, объемных теплоемкостей
с
и тепловыделения
W
:
c
∂T
∂t
=
∂
∂x
λ
∂T
∂x
+
∂
∂y
λ
∂T
∂y
+
W
;
t >
0
, x
∈
(
−
X/
2;
X/
2)
, y
∈
(0;
Y
)
.
(3)
В связи с тем, что функция
λ
не дифференцируема на границах
контакта (в точной постановке задачи), вместо уравнения (3) следует
рассматривать систему из уравнений теплопроводности, записанных
для каждого из слоев в отдельности, при общей односторонней пара-
болической переменной времени [1] :
c
i
∂T
i
∂t
−
∂
∂x
λ
∂T
∂x
i
−
∂
∂y
λ
∂T
∂y
i
−
W
i
= 0;
t >
0
, x
∈
(
−
X/
2;
X/
2)
, y
∈
(
y
i
1
;
y
i
2
)
.
(4)
Однозначное решение задачи (1), (2) и (4) выполнено при допол-
нительном учете начального распределения температуры:
T
i
=
T
i
н
(
x, y
);
t
= 0
, x
∈
[
−
X/
2;
X/
2]
, y
∈
[
y
i
1
;
y
i
2
]
,
(5)
а также при учете для
I
слоев пластины условий склейки типа
λ
i
∂T
i
2
∂y
=
λ
i
+1
∂T
i
+1
,
1
∂y
+
P
i
;
t >
0
, T
i
2
=
T
i
+1
,
1
+
Q
i
;
i
∈ {
1
. . . I
−
1
}
.
(6)
28 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 4
