Слагаемые в уравнении (6), формально соответствующие неиде-
альности теплового контакта (при
Q
i
= 0)
и поверхностному, контакт-
ному тепловыделению (при
P
i
= 0)
, включены в целях использования
соответствующей программы для ЭВМ при итерационном решении
нелинейных задач.
Публикаций по решению рассматриваемой задачи в полной по-
становке не найдено. Известны лишь результаты анализа для задач
в существенно упрощенной постановке, а также общие рекоменда-
ции, в частности, по применению обязательно точных методов мате-
матической физики для выявления зависимости решения от времени.
Применение же, при необходимости, приближенных подходов допу-
стимо лишь по эллиптическим координатам [1]. Судя по публикациям
(например, [2]), весьма эффективным представляется метод Бубнова–
Галеркина. Применительно к задаче класса (1), (2), (4)–(6) постро-
ение решения рекомендовано в виде линейной суперпозиции некото-
рых функций, называемых базисными и удовлетворяющих граничным
условиям. При этом указывается, что коэффициенты разложения сле-
дует определять из условий минимизации ортогональной проекции
невязки по всей области решения, и подчеркивается, что успех в при-
менении метода определяется выбором структуры и числа базисных
функций, входящих в разложение. Но для рассматриваемой задачи
конкретных указаний нет.
В нестационарных задачах эти коэффициенты в общем случае
представляются функциями времени; поэтому их определению со-
ответствует система линейных дифференциальных уравнений изме-
нения времени. Следует отметить, что в стационарных задачах эти
коэффициенты принимаются постоянными и выявляются на основе
решений линейных алгебраических систем уравнений, что намного
проще. В связи с этим эффективен аналитико-численный подход [1],
включающий в себя интегральное преобразование Лапласа, процедуру
минимизации невязки для изображения и, наконец, переход к оригина-
лу. Для определения коэффициентов в разложениях для изображений
в данном случае также логично использовать линейные алгебраиче-
ские уравнения, что и является основным преимуществом названного
подхода. К сожалению, в случаях с зависимостью от времени хотя
бы немногих параметров (
α
g
,
λ
i
,
с
i
) применимость преобразования
Лапласа практически исключена.
Сведение трудностей задачи к рассмотрению линейных алгебраи-
ческих уравнений и без преобразования Лапласа допустимо при ис-
пользовании в роли совокупности базисных функций систем из произ-
ведений тригонометрических функций от времени
t
и координат. Такой
подход, ранее использованный при решении стационарных задач [3, 4],
формально применим и при использовании времени в роли aргумента.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 4 29
