будут выполнены интегральные законы сохранения массы, количества
движения и энергии.
При этом для массы можно записать
M
=
M
df
+
M
dg
=
ρ
d
(
x
DA
−
x
A
) +
ρ
d
(
x
B
−
x
DB
) =
=
ρ
d
[(
x
B
−
x
A
) + (
x
DA
−
x
DB
)]
.
(8)
Для балансовых соотношений количества движения и энергии по-
лучаем соответственно
K
=
M
df
u
d
−
p
d
(
t
D
−
t
DA
)+
+
M
dg
u
d
+
p
d
(
t
D
−
t
DB
) =
M
d
u
d
−
p
d
(
t
DB
−
t
DA
);
(9)
E
=
M
df
p
d
(
k
−
1)
ρ
d
+
u
2
d
2
−
−
p
d
u
d
(
t
D
−
t
DA
) +
M
dg
p
d
(
k
−
1)
ρ
d
+
u
2
d
2
+
p
d
u
d
(
t
D
−
t
DB
) =
=
M
d
p
d
(
k
−
1)
ρ
d
+
u
2
d
2
−
p
d
u
d
(
t
DB
−
t
DA
)
.
(10)
Обозначая
х
B
−
х
A
= Δ
x
,
t
B
−
t
A
=
t
DB
−
t
DA
= Δ
t
и учитывая,
что
D
A
D
B
— это отрезоклинии тока с угловым коэффициентом в виде
искомой скорости
u
d
= (
x
DA
−
x
DB
)
/
(
t
DA
−
t
DB
) = (
x
DA
−
x
DB
)
/
(
−
Δ
t
)
,
уравнения (8)–(10) можно переписать в виде:
M
=
ρ
d
(Δ
x
−
u
d
Δ
t
);
(11)
K
=
Mu
d
−
p
d
Δ
t
;
(12)
E
=
M
p
d
(
k
−
1)
ρ
d
+
u
2
d
2
−
p
d
u
d
Δ
t,
(13)
что позволяет определить
ρ
d
,
u
d
и
р
d
.
При построении сетки может получиться
Δ
t
= 0
. Тогда из урав-
нения (11) сразу определяем
ρ
d
, из формулы (12) —
u
d
, затем из вы-
ражения (13) —
p
d
. Для общего случая при
Δ
t
= 0
с использованием
обозначений
ι
=
K/M
,
ε
=
Е
/
М
,
δ
= Δ
х
/
Δ
t
из системы уравнений
(11)–(13) получаем формулу для определения скорости
u
d
:
u
d
=
δ
+
kι
k
+ 1
±
δ
+
kι
k
+ 1
2
−
2
(
k
−
1)
ε
+
δι
k
+ 1
.
(14)
Теперь из уравнений (11) и (13) легко найти
ρ
d
и
p
d
, а затем и ск о-
рость звука
a
d
=
kp
d
/ρ
d
, необходимую для определения скоростей
фронтов
DA
и
DB
(см. (1)). При расчете
u
d
для выбора знака перед
радикалом в уравнении (14) необходимо использовать единственное
контрольное значение скорости, получаемое из уравнения (12) при
30 ISSN 0236-3941. ВестникМГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 3
