работает на изгиб как балка длиной
L
с постоянным поперечным
сечением. Изгибная жесткость упругой оси равна
EJ
, а погонная
масса —
ρ
. Рассмотрим поперечные прогибы упругой оси
u
(
s, t
)
. В
предлагаемой модели считается, что профиль
b
деформируется вместе
с упругой осью таким образом, что для деформированного профиля
b
выполняется гипотеза плоских сечений.
Профиль
b
закреплен на опорах, которые крепятся к упругой оси на
идеальных шарнирах (см. рис. 1). Первая опора установлена на краю
упругой оси
(
s
1
= 0)
и имеет жесткость
C
1
. Она движется вместе с
профилем и неподвижна в связанной системе координат. Вторая опора
жесткостью
C
2
остается неподвижной в системе координат
OXY
. В
связанной системе координата данной опоры
s
2
=
l
(
t
)
,
(0
< l
(
t
)
< L
)
.
Прогибы упругой оси в местах установки опор в связанной системе
координат обозначены как
U
1
и
U
2
.
Исследуем переходный режим с начальными условиями
Y
0
(0) = 0
,
˙
Y
0
(0) =
v
0
Y
,
u
(
x,
0) = 0
;
˙
u
(
x,
0) = 0
, протекающий до момента време-
ни
t
=
t
K
=
Y
0max
/v
0
Y
, где
Y
0max
— ход профиля
b
.
Постановка связанной задачи гидроупругости включает в себя
уравнение неразрывности div
~v
= 0
, уравнение Навье–Стокса и урав-
нение динамики профиля с граничными условиями на бесконечности
lim
r
→∞
~v
(
~r, t
) =
~v
∞
=
const
,
lim
r
→∞
p
(
~r, t
) =
p
∞
=
const
и на объединенном профиле
B
0
=
B
∪
b
~v
(
~r
K
, t
) =
~v
K
(
~r
K
, t
)
,
где
~v
(
~r, t
)
— скорость среды,
~v
K
(
~r
K
, t
)
— скорость движения точки c
радиусом-вектором
~r
K
на профиле.
При использовании вихревого метода уравнения движения сре-
ды записываются для вектора завихренности
~
Ω =
rot
~v
, который для
плоскопараллельного течения направлен перпендикулярно плоскости
потока (единичный орт
~k
)
и имеет модуль
~
Ω = Ω
. При обтекании
профиля завихренность сосредоточена в области вихревого следа
S
.
По известному распределению завихренности с учетом закона Био–
Савара можно найти скорость в любой точке течения:
~v
(
~r
) =
~v
∞
+
ZZ
S
~Q ~r
−
~ξ
∙
Ω(
~ξ
)
dS
ξ
, ~Q ~r
−
~ξ
=
~k
×
~r
−
~ξ
2
π ~r
−
~ξ
2
.
При этом уравнение неразрывности и граничное условие на бесконеч-
ности выполняются автоматически.
50 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 4
