4 / 9
Уравнение энергии в канале разряда (2) можно записать в виде [5]
i
2
(
t
)
π
∙
r
2
k
σ
=
1
η
−
1
d
(
πr
2
k
P
)
dt
+
P
dπr
2
k
dt
,
(3)
где
P
— давление в канале разряда;
η
— показатель адиабаты плазмы
(
η
= 1
,
26
).
Преобразуем правую часть уравнения (3)
i
2
(
t
)
π
2
r
2
k
σ
=
dr
2
k
dt
Pη
)
η
−
1
+
r
2
k
η
−
1
dP
dt
.
(4)
Входящее в уравнение (4) давление в канале
P
равно давлению в
жидком объеме, для которого можно записать уравнение состояния в
форме Тэта:
P
=
P
0
[(
ρ/ρ
0
)
α
−
1]
,
(5)
где
P
0
= 3
,
05
∙
10
8
Па;
α
= 7
,
15
;
ρ
— текущая плотность жидкости;
ρ
0
— начальная плотность жидкости.
При этом считается, что давление в канале разряда равно давле-
нию в жидкости, т.е. распределено однородно и зависит только от
соотношения текущей и начальной плотностей воды или от обратной
величины отношения для объемов жидкости:
V
0
V
=
4
3
πR
3
0
4
3
π
(
R
0
+
U
)
−
2(
R
0
+
U
)
πr
2
k
,
(6)
где
U
— скорость перемещения стенки полости.
Введем в рассмотрение переменную
x
, являющуюся обратной ве-
личиной относительного изменения плотности воды в жидком объеме:
x
=
V
V
0
=
ρ
0
ρ
= 1 +
U
R
0
3
−
3
2
1 +
U
R
0
r
k
R
0
2
.
(7)
В соответствии с уравнением состояния в форме Тэта (5) имеем
P
=
P
0
((
ρ/ρ
0
)
α
−
1) =
P
0
x
−
α
−
1
.
(8)
Исключим из уравнения (4) производную радиуса канала по вре-
мени, для этого представим ее в следующем виде:
dr
k
dt
=
dr
k
dP
dP
dt
.
(9)
Из уравнения (8) получаем
dP
dr
k
=
−
αP
0
x
−
α
−
1
dx
dr
k
= 3
αP
0
x
−
α
−
1
r
k
R
0
+
U
R
3
0
.
(10)
126 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2016. № 1