Разрабатываемая численная схема получается сведением исходной
системы уравнений в частных производных к аппроксимирующей си-
стеме обыкновенных дифференциальных уравнений путем подстанов-
ки интерполяционных выражений по выбранным координатным на-
правлениям
ϕ
и
θ
в исходную систему уравнений. Тогда при задании
положения ударной волны и определении за ней значений газодинами-
ческих функций в узлах сетки с помощью полученной аппроксимиру-
ющей системы обыкновенных дифференциальных уравнений решение
последовательно выстраивается в ударном слое от ударной волны к те-
лу. Условие непротекания в узлах сетки на теле позволяет подобрать
узловые значения ударной волны
R
=
R
s
(
ϕ, θ
)
.
Поскольку газодинамические функции, несмотря на их гладкое по-
ведение, могут значительно изменяться по величине в зависимости от
угла
θ
на отрезке
[0
,
2
π
]
при больших углах атаки, то лучшим вари-
антом, позволяющим уменьшить число узлов аппроксимации, служит
использование аппроксимирующих выражений высокого порядка точ-
ности. Наиболее удобными в этом случае оказываются кубические
сплайны и тригонометрические многочлены. При расчетах обтекания
осесимметричных тел наличие плоскости симметрии течения делает
целесообразным применение тригонометрических аппроксимаций, ко-
торые позволяют аппроксимировать функции на вдвое меньшем числе
узлов с тем же порядком точности, если учитывать их четность или
нечетность по углу
θ
. Кроме того, автоматически выполняется условие
периодичности функций по
θ
. Опыт расчетов показал, что в этом слу-
чае высокая точность решения обеспечивается при четырех или пяти
полуплоскостях
θ
j
=
const для тел различных форм и углов атаки
до 25
◦
[1]. Высокая точность аппроксимации при таком же числе по-
луплоскостей достигалась и при использовании сплайн-функций [4].
При построении численной схемы необходимо выделять наиболее
сложные по характеру области течения с тем, чтобы правильно опре-
делить число узлов аппроксимации и шаблоны для этих областей. Как
уже отмечалось, обычно трудности расчета связаны с областями, где
вырождаются уравнения газовой динамики: в окрестности оси симме-
трии, поверхности обтекаемого тела, в области больших градиентов
газодинамических функций. По координате
ϕ
функции аппроксими-
ровались многочленами разной степени в зависимости от структуры
течения. При расчетах тел с разрывом кривизны в окрестности точ-
ки разрыва происходит резкое перестроение течения из-за разрыва
производной скорости на поверхности тела. При сквозной аппрок-
симации локальные возмущения из этой окрестности передаются на
всю область течения вплоть до оси
ϕ
= 0
, что приводит к искаже-
нию истинной картины течения. Для локализации возмущений не-
обходимо использовать аппроксимацию производных по переменной
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 4 45
