d
dt
∂T
(
t, ϕ
1
(
t
)
, ϕ
2
(
t
))
∂
˙
ϕ
2
(
t
)
−
∂T
(
t, ϕ
1
(
t
)
, ϕ
2
(
t
))
∂ϕ
2
(
t
)
+
+
∂P
(
t, ϕ
1
(
t
)
, ϕ
2
(
t
)
, r
(
t
))
∂ϕ
2
(
t
)
+
∂D
(
t, ϕ
1
(
t
)
, ϕ
2
(
t
))
∂
˙
ϕ
2
(
t
)
= 0
,
где выражения для
T
,
P
,
D
вычисляются по формулам (3), (4), (2)
соответственно.
Система дифференциальных уравнений (6) была решена в настоя-
щей работе численно. Механические параметры модели, рассмотрен-
ной в исследовании, следующие. Длина каждой лопасти
l
= 500
м,
ширина лопасти
b
= 1
м. Модуль Юнга
E
= 2
∙
10
9
Па. Коэффициенты
жесткости, входящие в уравнение для потенциальной энергии упругих
деформаций,
k
1
= 2
,
635
∙
10
6
и
k
2
= 4
,
737
∙
10
4
получены по методи-
ке, описанной в работе [3]. Коэффициент демпфирования, входящий в
уравнение для диссипативной функции,
c
= 10
3
. Масса полезной на-
грузки КА
m
ka
= 1000
кг. Масса лопасти паруса
m
l
= 48
кг, площадь
паруса
S
= 1000
м
2
. Парусность
σ
=
S
m
ka
+ 2
m
l
≈
10
3
см
2
г
.
Опорная орбита принята круговой с радиусом
R
0
= 7200
км. При-
няты следующие начальные условия:
ϕ
1
(0) = 0
,
1
рад,
ϕ
2
(0) = 0
,
1
рад,
˙
ϕ
1
(0) = 0
рад/с,
˙
ϕ
2
(0) = 0
рад/c,
r
(0) =
R
0
,
˙
r
(0) = 0
м/с,
˙
ν
(0) =
V
0
R
0
,
где
V
0
=
r
μ
R
0
.
В уравнениях (6) не было учтено влияние светового давления на
деформацию конструкции солнечного паруса. Это допущение объяс-
няется тем, что в рассматриваемом случае величина гравитационного
воздействия превосходит силу светового давления на шесть порядков.
Найденные из решения системы (5) зависимости
r
(
t
)
(радиуса-
вектора абсолютно жесткого паруса) и
˜
r
(
t
)
(радиуса-вектора упругого
паруса) получены для трех витков орбиты. Введем замену перемен-
ных:
r
(
t
) =
r
(
t
)
−
R
0
,
˜
r
(
t
) = ˜
r
(
t
)
−
R
0
. Зависимости
r
(
t
)
и
˜
r
(
t
)
показаны на рис. 5. Величина
Δ
r
= ˜
r
−
r
возрастает с увеличени-
ем числа витков КА вокруг притягивающего центра. Очевидно, что
даже малые отличия упругой модели от абсолютно жесткой при про-
должительном полете могут вызвать существенную ошибку значений
радиуса-вектора, как показано на рис. 6.
Зависимости интегралов энергии
h
=
h
+
h
0
и
˜
h
= ˜
h
+
h
0
от време-
ни для четырех витков траектории для исследуемой модели показаны
на рис. 7, где
h
0
= 5
,
53605
∙
10
7
,
˜
h
— интеграл энергии упругого паруса,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2006. № 1 21
