Если предположить, что модули упругости пружин
1
и
2
равны
(
E
1
=
E
2
=
E
), то уравнение можно представить в виде
M
¨
ε
+
η
˙
ε
+
Eε
=
F
(
t
) +
˙
ση
E
.
Разделив обе части равенства на
М
, получим
¨
ε
+ 2
H
˙
ε
+
f
2
ε
=
F
(
t
) +
2 ˙
σH
E
,
(1)
где
2
Н
=
η/M
и
f
2
=
Е
/
М
— соответственно затухание и собственная
частота колебаний системы.
Из полученных соотношений следует, что затухание и собственная
частота колебаний системы зависят от упругих и вязких свойств среды,
а также от
М
.
Рассмотрим особенности решения уравнения (1) для импульсных
излучателей.
Под действием внезапно приложенной силы система плита–грунт
будет совершать свободные колебания, которые описываются уравне-
нием (1) без правой части. Характер движения системы определяется
соотношением между затуханием
Н
и собственной частотой
f
. Поэто-
му система будет совершать затухающие колебательные движения:
ε
=
A
0
e
−
Ht
sin (
ωt
+
ϕ
)
,
(2)
где
ω
=
p
f
2
+
H
2
≈
f.
Значения
A
0
и
ϕ
(амплитуду и фазу) находят из начальных условий.
Если отсчитывать время от начала движения грунта под действием
плиты излучателя и считать, что
ε
=
ε
0
и
˙
ε
= ˙
ε
0
при
t
= 0
, получим
следующие выражения для
А
0
и
ϕ
:
A
0
=
s
ε
2
0
+
( ˙
ε
0
+
Hε
0
)
2
f
2
;
(3)
tg
ϕ
=
ε
0
f
˙
ε
0
+
fε
0
,
где
ε
0
— начальная деформация грунта;
˙
ε
0
— скорость движения плиты
в начальный момент времени.
С учетом (2) уравнение (3) преобразуется к виду
ε
=
s
ε
2
0
+
( ˙
ε
0
+
Hε
0
)
2
f
2
e
−
Ht
sin (
ωt
+
ϕ
)
.
(4)
Выражение (4) позволяет определять смещения (деформации)
грунта для любого момента времени
t.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2013. № 1 31
