где
a
=
kp/ρ
— скорость звука,
ρ
— плотность. Отсюда в конечных
разностях можно записать
p
г
=
p
i
+
a
i
ρ
i
(
u
г
−
u
i
)
.
(2)
Теперь нужно определить параметры после перемещения границы.
При этом очевидно должны выполняться интегральные законы сохра-
нения, записанные для одномерного представления [8, 9], посколь-
ку перемещение и изменение параметров происходит вдоль коорди-
наты
X
:
(
ρdx
−
ρudt
) = 0;
(3)
ρudx
−
p
+
ρu
2
dt
=0;
(4)
ρ e
+
u
2
2
dx
−
ρu e
+
u
2
2
+
p
ρ
dt
= 0;
(5)
здесь
е
— удельная внутренняя энергия. Для калорически совершен-
ного газа
е
=
р
/ρ
(
k
−
1)
.
Используя конечно-разностное представление и учитывая обозна-
чения (1), из уравнения сохранения массы (3) для плотности в ячейке
после изменения объема получаем новое значение:
¯
ρ
i
=
ρ
i
q
i
¯
q
i
.
(6)
Уравнение сохранения количества движения (4) в конечных разно-
стях преобразуется к виду
¯
ρ
i
¯
q
i
¯
u
i
=
ρ
i
q
i
u
i
+ (
p
г
−
p
i
)Δ
t
Δ
y
Δ
z,
(7)
из которого можно выразить значение скорости
¯
u
i
после перемещения
границы:
¯
u
i
=
ρ
i
q
i
u
i
¯
ρ
i
¯
q
i
+
p
г
−
p
i
¯
ρ
i
¯
q
i
Δ
t
Δ
y
Δ
z.
(8)
В уравнениях (7) и (8) для правой границы ячейки принимается
начальное значение давления
р
i
, поскольку пока на этой границе, т.е. за
шаг
Δ
t
, никаких процессов не происходит; взаимодействие с ячейкой
i
+ 1
будет рассмотрено на последующих этапах расчета.
Теперь из уравнения сохранения энергии (5) можно получить про-
стую формулу для определения полной энергии
¯
E
i
после смещения
границы. Параметр полная энергия, равная произведению удельной
энергии на массу,
E
= (
e
+
u
2
/
2)
M
= (
e
+
u
2
/
2)
ρq
используется в
алгоритме МКЧ. Значение полной энергии изменяется только в ре-
зультате работы, совершаемой границей
Γ
:
¯
E
i
=
E
i
+
p
г
(
q
i
−
¯
q
i
)
.
(9)
38 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2009. № 2
