−
2
r
2
0
∞
X
n
=1
Z
∂
2
w
∂t
2
R
n
(
r
)
rdr
R
n
(
r
)
k
n
cth
k
n
H
−
−
(
ρ
д
δ
+
ρH
)
∂
2
U
∂t
2
;
C
n
=
2
r
2
0
r
0
Z
0
Y
(
r
)
R
n
(
r
)
rdr
;
(4)
∞
X
n
=1
R
n
(
r
)¨
q
n
ξ
−
1
n
+
γ
∞
X
n
=1
R
n
(
r
)
ξ
−
1
n
th
k
n
H
˙
q
n
−
∞
X
n
=1
C
n
¨
UR
n
(
r
) = 0
.
(5)
Собственные колебания.
Предположим, что
w
(
r, t
) =
Y
(
r
)
U
(
t
);
U
(
t
) =
U
0
e
ω t
;
q
n
=
q
0
n
e
ω t
;
Y
(
r
0
) =
Y
0
r
(
r
0
) = 0;
Y
(
r
1
) =
Y
0
r
(
r
1
) = 0
(6)
тогда, подставив соотношения (6) в выражения (4) и (5), можно по-
лучить уравнения, содержащие параметры
U
0
и
q
0
n
, а исключив из
преобразованных уравнений
q
0
n
, прийти к интегродифференциально-
му уравнению для функции
Y
(
r
)
:
D
d
2
dr
2
+
1
2
d
dr
2
Y
(
r
) +
ρ
д
δ
д
ω
2
Y
(
r
) =
−
ρHω
2
2
r
2
0
r
0
Z
0
Y
(
r
)
rdr
−
−
ω
2
ρ
2
r
2
0
X
R
n
(
r
)
k
n
cth
k
n
H
+
ω
γ
−
1
r
0
Z
0
Y
(
r
)
R
n
(
r
)
rdr.
(7)
Решение уравнения (7), удовлетворяющее граничным условиям,
приводит к трансцендентному уравнению для определения числа
ζ
,
которое для сплошной пластины имеет вид
J
0
(
ζ
)
J
1
(
ζ
)
+
I
0
(
ζ
)
I
1
(
ζ
)
−
−
∞
X
n
=1
4
ζ
1
−
ξ
4
n
ζ
4
h
ξ
n
ρ
д
δ
ρr
0
cth
ξ
n
ˉ
H
+
iζ
2
ˉ
δ
ˉ
γξ
n
√
12
1
−
ξ
4
n
ζ
4
+ 1
i
=
=
4
ζ
h
1 +
ρ
д
δ
ρr
0
ˉ
H
i
,
(8)
где
ˉ
δ
=
δ/r
0
;
ˉ
H
=
H/r
0
;
ˉ
γ
= (
γ/a
)
√
1
−
ν
2
;
λ
=
iζ
2
ˉ
δ/
√
12
,
ω
2
=
λ
2
E/
(
ρ
д
r
2
0
(1
−
ν
2
))
.
Трансцедентное уравнение для кольца ввиду громоздкости здесь
не приводится.
Результаты расчета при
ˉ
δ
= 1
/
375
,
ρ/ρ
д
= 0
,
363
,
ˉ
H
= 3
,
ν
= 0
,
3
,
a
= 5000
м/с,
E
= 7
,
2
∙
10
10
Н/м
2
,
l
=
r
1
/r
0
приведены в таблице.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 2 123
