Эргодическая теорема в теории ползучести - page 3

Следовательно, процесс (3) характеризуется как стационарный за
конечное время при любом n < 1.
Бесконечный процесс релаксации (если n > 1) имеет математиче-
ское ожидание
M Δ =
ω
0
ω Δdω =
ω
0
ω (1 + ω )− 1
n−1 dω =
= (n − 1)
1
2n − 3
(1 + ω ) 2n−3
n−1 −
1
n − 2
(1 + ω)
n−2
n−1 +
n − 1
(2 n − 3) (n − 2)
.
В свою очередь, математическое ожидание приводит к дроблению
показателя ползучести. Конечное значение M Δ =
(n − 1) 2
(2 n − 3) (n − 2)
су-
ществует при ограничении 1 < n < 3/2, следовательно, в достаточно
узком диапазоне.
Дисперсию для оператора (2) можно записать следующим образом:
DΔ =
ω
0
ω −
(n − 1) 2
(2 n − 3) (n − 2)
2
Δdω =
= J ∗ −
2 ( n − 1) 2
(2 n − 3) (n − 2)
S∗ +
(n − 1)4
(2n − 3)2 (n − 2) 2
F∗
σ(0)
,
J ∗ = ω2 (1 + ω )− 1
n−1 dω; S∗ = ω (1 + ω )− 1
n−1 dω; F∗ /σ(0)= Δdω,
где J∗ — момент инерции площади под кривой относительно оси орди-
нат; S∗ — статический момент; F∗ /σ (0) — определенная ранее площадь
под кривой.
Таким образом, определение моментов различных порядков приво-
дит к новым геометрическим характеристикам интегральных кривых
теории ползучести.
Если 1 < n < 3/2 ( ω → ∞), то
F∗ /σ (0) =
n − 1
2 − n
;
S∗ = M Δ =
(n − 1)2
(2n − 3) (n − 2)
,
а также при любом значении ω имеем
J ∗ = − 2 (n − 1)2 1
(3n − 4) (2n − 3)
.
Приведенная формула для J ∗ позволяет сделать вывод о нали-
чии особых точек в области определения решения (n > 1). Дисперсия
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 4 37