Эргодическая теорема в теории ползучести - page 2

Тогда
σ = σ(0)Δ, Δ = (1 + ω )− 1
n−1 .
Площадь под кривой релаксации можно записать как
F∗ =
ω
0
σ(0) (1 + ω)− 1
n−1 dω = σ(0)
n − 1
n − 2
(1 + ω )
n−2
n−1 − 1 .
Отметим, что F∗ → ∞ при n > 2. Предел вычисляем следующим
образом:
lim
ω →∞
1
ω
ω
0
σ(t )dt = lim
ω→∞
1
ω
σ(0)
n − 1
n − 2
(1 + ω) n−2
n−1 −
1
ω
σ (0)
n − 1
n − 2
=
= σ(0)
n − 1
n − 2
lim
ω→∞
1
ω
(1 + ω )
n−2
n−1 ,
при n < 2
σ (0)
n − 1
n − 2
lim
ω →∞
1
ω
1
(1 + ω )
2−n
n−1
= 0.
Таким образом, эргодическая теорема доказывается в ограничен-
ном интервале изменения показателя ползучести: 1 < n < 2.
В случае если n < 1, решение уравнения ползучести меняется, а
именно:
σ = σ(0) 1 −
E (1 − n) Ω
σ(0)1 −n
1
1−n
(3)
или
σ = σ(0)Δ, Δ = (1 − ω )
1
1−n .
Релаксация у такого материала осуществляется за конечное время:
E (1 − n) Ω∗
σ(0)1−n = 1,
т.е. ω∗ = 1.
Площадь под такой кривой релаксации определяют из выражения
F∗ =
ω
0
σ(0)Δdω = σ (0)
1 − n
2 − n
1 − (1 − ω ) 2−n
1−n .
В эргодической теореме T = ω∗ = 1 и конечный предел (1) можно
заменить на среднее:
1
0
Δdω =
F∗
σ(0)
=
1 − n
2 − n
.
36 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2010. № 4