10. . . 11 км/с грузу массой 1 г, до 15 км/с — грузу массой 0,1 г. Пред-
ставляют интерес принципиально достижимые скорости. Согласно
работе [7], скорость головной части кумулятивной струи достигает
12. . . 15 км/с. Элементы облицовки кумулятивной воронки из бе-
риллия в экспериментах, проводимых в 1950-е гг., разгонялись до
скорости 90 км/с [7].
Математическая модель
. Наноспутник представляет собой обте-
каемое тело, стабилизированное в полете, например за счет стабили-
зации вращением, юбкой или другими кормовыми стабилизаторами.
Угол атаки принят равным нулю. Лобовое сопротивление наноспут-
ника в атмосфере Земли рассчитывается через коэффициент полного
сопротивления по миделеву сечению
С
х
с необходимым запасом. Вто-
рой закон Ньютона в проекции на геоцентрический радиус-вектор и
уравнение моментов в проекции на нормаль к плоскости орбиты опи-
сывают движение метаемого тела в атмосфере:
¨
r
+
GM
r
2
−
L
2
m
r
3
=
−
C
x
Sρ
2
m
V
rel
˙
r
;
(1)
˙
L
m
=
−
C
x
Sρ
2
m
V
rel
L
m
−
ωr
2
,
(2)
где положение спутника в плоскости орбиты определяется геоцентри-
ческим расстоянием
r
и полярным углом
ϕ
, отсчитываемым от напра-
вления из центра Земли в точку старта; в момент старта
ϕ
= 0
;
˙
r
и
r
˙
ϕ
—
радиальная и трансверсальная скорости;
L
m
=
r
2
˙
ϕ
— момент импуль-
са наноспутника как материальной точки в геоцентрической системе
координат, отнесенный к единице массы;
V
rel
=
p
˙
r
2
+
r
2
( ˙
ϕ
−
ω
)
2
—
модуль скорости наноспутника в системе отсчета, связанной с Землей;
m
— масса спутника;
ρ
(
r
)
— плотность воздуха;
S
— площадь миде-
лева сечения метаемого тела;
ω
— угловая скорость вращения Земли;
M
— масса Земли;
G
— гравитационная постоянная.
Запуск спутника проводится с экватора в направлении на восток
под углом
θ
к горизонту. Параметры атмосферы приняты в соответ-
ствии с таблицами стандартной атмосферы [8]. Атмосфера в моде-
ли предполагается статичной и влияние ветровой нагрузки не учи-
тывается. Основные параметры наноспутника приняты следующими:
диаметр миделева сечения
d
мид
= 65
мм; масса спутника
m
= 10
кг,
коэффициент сопротивления
C
x
= 0
,
15
.
При длине метаемого тела 670 мм соотношение массы и миделева
сечения соответствует средней плотности 6 г/см
3
. Коэффициент со-
противления взят с запасом по отношению к оценке, приведенной в
работах [1, 9, 10].
Задача решается численным методом с использованием конечно-
разностной схемы. В численном эксперименте начальные скорость и
72 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2013. № 3
