принятых допущений запишем в следующем виде [1]:
Fρ
∂
2
x
∂t
2
+
EJ
x
∂
4
x
∂z
4
=
u
(
z
) sin
α
sin
pt,
где
F, ρ
,
EJ
x
— площадь поперечного сечения стержня, плотность
материала и изгибная жесткость стержня соответственно.
Вынужденные стационарные изгибные колебания происходят с ча-
стотой возмущающей силы
p
:
x
(
z, t
) =
v
(
z
) sin
α
sin
pt,
(2)
где
v
(
z
)
— форма вынужденных колебаний, которую несложно опре-
делить известным способом с привлечением конкретных граничных
условий.
Теперь найдем возмущающий крутящий момент
Φ(
z, t
)
в сечении
z
, суммируя моменты от внешней нагрузки
u
(
z
) cos
α
sin
pt
на отрезке
[
z, l
]
:
Φ(
z, t
) = cos
α
sin
pt
Z
l
z
[
x
(
z
0
)
−
x
(
z
)]
u
(
z
0
)
dz
0
.
(3)
Тогда, с учетом выражений (2) и (3) и тригонометрических формул
получим следующее уравнение крутильных колебаний:
ρJ
p
∂
2
ϕ
∂t
2
+
GJ
p
∂
2
ϕ
∂z
2
=
1
4
R
(
z
) sin 2
α
(1
−
cos 2
pt
)
,
(4)
где
GJ
p
— крутильная жесткость,
R
(
z
) =
Z
l
z
[
v
(
z
0
)
−
v
(
z
)]
u
(
z
0
)
dz
0
.
Из уравнения (4) следует, что крутильные колебания происходят
с частотой 2
p
относительно некоторого постоянного по времени угла
ϕ
1
(
z
)
6
= 0
, за исключением “экзотического” случая, когда
u
(
z
)
специ-
ально подобрана.
Для примера обратимся к простейшей постановке задачи, которая
тем не менее сохраняет суть изучаемого явления. Рассмотрим модель
консольно закрепленного стержня (см. рис. 1). Считаем, что его масса
сконцентрирована на верхнем торце. Таким образом, стержень транс-
формируется в невесомую пружину с теми же жесткостными характе-
ристиками, что и у стержня. На пружине закреплен объект, имеющий
массу
m
и момент инерции
J
z
, размерами которого можно пренебречь.
В отличие от силового воздействия, которое рассматривалось в пре-
дыдущем случае, считаем, что основание стержня перемещается под
углом
α
к оси
y
по закону
f
(
t
) =
a
sin
pt
.
Запишем уравнения для линейных (
x
) и угловых (
ϕ
) перемеще-
ний объекта в подвижной системе координат, переход к которой из
инерциальной системы осуществляется приложением к объекту пере-
носной силы инерции
−
m
¨
f
(
t
)
. В результате простых преобразований
96 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 4
