σ
изг
=
±
EJ
Wρ
,
(3)
где
ρ
— радиус изгиба рассматриваемого участка трубопровода.
Если участок трубопровода имеет изгиб одновременно в горизон-
тальном и вертикальном направлениях, то кривизна и напряжения вы-
числяются по формуле [11]:
σ
изг
=
q
σ
2
изг
(
x
)
+
σ
2
изг
(
y
)
,
(4)
где
σ
изг
(
x
)
,
σ
изг
(
y
)
— изгибные напряжения в горизонтальном и верти-
кальном направлениях.
Значения радиусов вертикального и горизонтального изгибов мо-
гут быть определены посредством решения системы дифференциаль-
ных уравнений [12]:
EJ
y
d
4
u
dz
4
−
N
(
z
)
d
2
u
dz
2
=
q
x
(
z
);
EJ
x
d
4
v
dz
4
−
N
(
z
)
d
2
v
dz
2
=
q
y
(
z
);
d
2
w
dz
2
=
−
q
z
(
z
)
πDEδ
.
(5)
Здесь приняты следующие обозначения:
u
— поперечное смещение оси
трубы по горизонтали;
v
и
w
— продольное и вертикальное смещения
трубы;
q
х
(
z
)
— поперечная горизонтальная нагрузка на трубу;
q
y
(
z
)
—
вертикальная нагрузка на трубу;
q
z
(
z
)
— продольная нагрузка на трубу;
N
(
z
)
— продольная (осевая) сила;
J
x
(
z
)
,
J
у
(
z
)
— моменты инерции
поперечного сечения трубы относительно осей
x
и
у
соответственно.
Первое уравнение системы (5) — это уравнение продольно-попереч-
ного изгиба упругой балки в плоскости (
x, z
), второе — уравнение
продольно-поперечного изгиба упругой балки в плоскости (
y, z
), а
третье — уравнение, описывающее состояние трубопровода при про-
дольном сдвиге по оси
z
.
Нагрузки
q
х
(
z
)
, q
y
(
z
)
, q
z
(
z
)
определяются с учетом сил взаимодей-
ствия МТ с грунтом, причем для
q
y
(
z
)
учитывается вес участка трубы,
включающий массу металла, транспортируемого продукта и изоляци-
онного слоя.
Также за счет деформации трубопровода в трубе возникают напря-
жения от продольного перемещения участка МТ:
σ
ε
=
E
Δ
ε
z
,
(6)
где
Δ
ε
z
— осевая деформация, определяемая по системе уравнений (5).
Таким образом, прочность трубопровода с учетом статических экс-
плуатационных нагрузок и динамических нагрузок от сейсмического
120 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 5
