Дифференциальные уравнения переноса теплоты.
Процесс кон-
дуктивной теплопередачи (теплопроводности) может бытьописан
уравнением Фурье, которое в двумерных условиях будет иметь вид
C
гр
ρ
гр
∂ϑ
dt
=
∂
∂X
λ
гр
∂ϑ
∂X
+
∂
∂Y
λ
гр
∂ϑ
∂Y
,
(2)
где
C
гр
ρ
гр
— объемная теплоемкостьгрунта, включающая теплоем-
костьвсех его компонентов.
Для грунтов, находящихся при температуре ниже температуры за-
мерзания свободной воды, уравнение теплопроводности записывается
как
C
гр
ρ
гр
∂ϑ
dt
=
∂
∂X
λ
гр
∂ϑ
∂X
+
∂
∂Y
λ
гр
∂ϑ
∂Y
+
ρ
л
nL
∂R
∂t
b.
(3)
Последнее слагаемое в уравнении (3) описывает выделение или по-
глощение теплоты при фазовых превращениях поровой влаги в грунте,
а входящая в это выражение относительная льдистость представляет
собой отношение массы порового льда к массе поровой воды: если
вся вода замерзла, то
R
= 1
, если весьлед растаял —
R
= 0
. Таким
образом, теплоперенос во вмещающем грунтовом массиве описывает-
ся системой дифференциальных уравнений, которая дополняется за-
висимостями для входящих в уравнения коэффициентов:
λ
гр
=
λ
т
+
R
(
λ
м
−
λ
т
)
(4)
— для коэффициента теплопроводности, где
λ
т
и
λ
м
— коэффициен-
ты теплопроводности грунта, находящегося в талом и твердомерзлом
состояниях;
(
Cρ
)
гр
= (
Cρ
)
т
−
[1
−
(
Cρ
)
л
]
Rnb,
(5)
— для объемной теплоемкости, где
(
Cρ
)
т
и
(
Cρ
)
л
— объемные тепло-
емкости талого грунта и порового льда;
b
— степеньвлажности
(льдистости) грунта.
Для расчетов полей температуры во вмещающем МТ массиве грун-
та должны бытьназначены краевые условия (начальные и граничные).
Многообразие физических величин, определяющих температур-
ный режим вмещающего массива, и наличие как внешних, так и вну-
тренних границ в его теле осложняет назначение краевых условий.
Тем не менее, назначение последних должно проводиться с исполь-
зованием как можно большего числа достоверных натурных данных,
ибо от этого зависит достоверностьрезультатов расчета.
Начальные условия.
Начальное температурное состояние (на нача-
ло расчетов) принимается по данным натурных наблюдений в термоск-
важинах (данные заказчика) или, например, по результатам предвари-
тельного (на конец строительного периода) теплотехнического прог-
ноза.
70 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2012. № 3
